Álgebra lineal Ejemplos

Hallar los vectores propios/el espacio propio [[1,1],[0,1]]
Paso 1
Obtén los valores propios.
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Paso 1.1
Establece la fórmula para obtener la ecuación característica .
Paso 1.2
La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño es la matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.
Paso 1.3
Sustituye los valores conocidos en .
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Paso 1.3.1
Sustituye por .
Paso 1.3.2
Sustituye por .
Paso 1.4
Simplifica.
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Paso 1.4.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.4.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 1.4.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2
Multiplica .
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Paso 1.4.1.2.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3
Multiplica .
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Paso 1.4.1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.4
Multiplica por .
Paso 1.4.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 1.4.3
Simplify each element.
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Paso 1.4.3.1
Suma y .
Paso 1.4.3.2
Suma y .
Paso 1.5
Find the determinant.
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Paso 1.5.1
El determinante de una matriz puede obtenerse usando la fórmula .
Paso 1.5.2
Simplifica el determinante.
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Paso 1.5.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.5.2.1.1
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
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Paso 1.5.2.1.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.1.1.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.1.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.1.2
Simplifica y combina los términos similares.
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Paso 1.5.2.1.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1.2.1.1
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.2
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.4
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 1.5.2.1.2.1.5
Multiplica por sumando los exponentes.
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Paso 1.5.2.1.2.1.5.1
Mueve .
Paso 1.5.2.1.2.1.5.2
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.6
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.7
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.2
Resta de .
Paso 1.5.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2
Suma y .
Paso 1.5.2.3
Mueve .
Paso 1.5.2.4
Reordena y .
Paso 1.6
Establece el polinomio característico igual a para obtener los valores propios .
Paso 1.7
Resuelve
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Paso 1.7.1
Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.
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Paso 1.7.1.1
Reescribe como .
Paso 1.7.1.2
Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.
Paso 1.7.1.3
Reescribe el polinomio.
Paso 1.7.1.4
Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto , donde y .
Paso 1.7.2
Establece igual a .
Paso 1.7.3
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Paso 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
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Paso 3.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Paso 3.2
Simplifica.
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Paso 3.2.1
Resta los elementos correspondientes.
Paso 3.2.2
Simplify each element.
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Paso 3.2.2.1
Resta de .
Paso 3.2.2.2
Resta de .
Paso 3.2.2.3
Resta de .
Paso 3.2.2.4
Resta de .
Paso 3.3
Find the null space when .
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Paso 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Paso 3.3.2
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Paso 3.3.3
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Paso 3.3.4
Write the solution as a linear combination of vectors.
Paso 3.3.5
Write as a solution set.
Paso 3.3.6
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Paso 4
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.